LICZBA π

LICZBA  π

Liczba π to stała matematyczna, bez której trudno wyobrazić sobie naszą cywilizację. Jest ona obecna w wielu dziedzinach życia. Często stanowi fundamentalny element ważnych praw i zagadnień. Dlatego też od 14 marca 1988 roku obchodzimy Międzynarodowy Dzień Liczby π.

Pierwsze źródła pisane, które wskazują na świadome stosowanie liczby Pi, pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, której powstanie datuje się na lata 1900–1680 przed Chrystusem, podano obwód koła
o średnicy 1, który przybliżono liczbą 3,125. Ciekawostką  jest, że piramida Cheopsa (jeden z cudów świata), zawiera w swoich wymiarach liczbę Pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Gdy badacze obliczyli stosunek sumy dwóch boków podstawy budowli do jej wysokości, okazało się, że wynosi 3,1416! Do dziś trwają dyskusje, czy to osobliwy przypadek, czy też jednym z budowniczych był nieznany nam geniusz. Budowę piramidy ukończono około roku 2560 przed Chrystusem.

W 1858 roku w Luksorze szkocki prawnik i egiptolog (amator) Aleksander Henry Rhind kupił pewien papirus powstały przed rokiem 1650. Zawierał on ponad osiemdziesiąt zadań matematycznych z różnych dziedzin. Na papirusie napisano między innymi: „Odrzuć od średnicy jej część dziewiątą i zbuduj kwadrat o boku równym pozostałej części, będzie on równoważny z kołem”. Mowa zatem o polu koła równym polu kwadratu, którego bok stanowi 8/9 średnicy tego koła. Wartość liczby π wyznaczonej na tej podstawie wynosiłaby 3,1604. Papirus, z którego pochodzi powyższe zadanie, znamy dziś jako Papirus Matematyczny Rhinda. Dokument ten jest prawdopodobnie kopią wcześniejszego pisma z czasów faraona Amenemhata III, który panował
w latach 1853–1807 przed Chrystusem.

         Na kalkulacje związane z π możemy natknąć się także w indyjskim tekście Shatapatha Brahmana (VIII – VI wiekiem przed Chrystusem), choć zdaniem niektórych pochodzi on z IX wieku przed Chrystusem, a obliczeń dokonać miał astronom o imieniu Yajnavalkya. Wartość najbardziej znanej stałej matematycznej podana w tym dziele to 339/108, co daje 3,139. Obok źródeł babilońskich i egipskich zawierających odniesienia do liczby π, różni autorzy wymieniają często opis zawarty w biblijnej Drugiej Księdze Kronik. Czytamy w niej: Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci. ([Biblia Tysiąclecia], 2 Krn, 4, 2). Na tej podstawie można wnioskować, że osoba wykonująca odlew uznała, iż stosunek długości obwodu do średnicy koła wynosi w przybliżeniu 3. Przypomnijmy, że cytowany tekst datowany jest na V–VI wiek przed Chrystusem.

         W starożytnej Grecji słynny matematyk Archimedes, żyjący w III wieku przed Chrystusem, prawdopodobne był pierwszym, który dokładniej analizował właściwości liczby π. Obliczył on jej wartość na 22/7. W związku z czym 22 lipca obchodzony jest Dzień Aproksymacji π, ograniczając dokładność do dwóch miejsc po przecinku. W swojej pracy wykorzystał geometrię. Jego metoda polegała na wyznaczeniu długości boków dwóch figur – dziewięćdziesięciosześciokątów foremnych – z których jedna była wpisana w okrąg, a druga opisana na tymże okręgu. Na tej podstawie Archimedes obliczył średnią arytmetyczną wartość obwodów obydwu figur, uzyskując przybliżoną długość okręgu. Rachunki greckiego uczonego były bardzo czasochłonne i wymagały sporo cierpliwości. Mimo to zastosowana przez niego metoda była wielokrotnie wykorzystywana przez późniejszych matematyków. Archimedes próbował zresztą jeszcze dokładniej obliczyć wartość Pi, wykorzystując do tego figury o stu dziewięćdziesięciu dwóch kątach – niestety, bez powodzenia.

         W drugim wieku po Chrystusie Klaudiusz Ptolemeusz, grecki uczony z Tebaidy, oszacował π na 3,1416, używając do tego figur o 360 kątach. Nieco później, w roku 263, chiński matematyk Liu Hui obliczył, że π mieści się w przedziale od 3,141024 do 3,142708 – zrobił to, stosując figury mające 96 192 kąty. Średnia z tych liczb pozwoliła mu wyznaczyć wartość π na 3,1418. Wkrótce Liu Hui zanotował także dokładniejszy wynik: 3,1416.

         Należy również wspomnieć innego chińskiego matematyka, Zu Chongzhi, który około roku 500 podał dwa przybliżenia liczby π. Najpierw uzyskał wynik zbliżony do uzyskanego przez Archimedesa, a nieco później doszedł do wartości 355/113 (3,14159). Ta liczba była najdokładniejszym znanym człowiekowi przybliżeniem stałej π, aż do XV wieku.

         W XII wieku żydowski filozof i lekarz Mojżesz Majmonides zasugerował, że π może być liczbą niewymierną. Jak pamiętamy ze szkoły, liczby niewymierne to takie, których nie możemy zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: całkowitej i naturalnej, różnej od 0.

         Kalkulacje związane z liczbą pi zmieniły charakter w roku 1400. Wówczas to hinduski matematyk Madhava, jako pierwszy uczony w historii wykorzystał w rachunkach tak zwane ciągi nieskończone. Na ich podstawie podał dwa sposoby obliczania wartości π i uzyskał wyniki z dokładnością do 11, a nieco później do 13 miejsc po przecinku. Żyjący w tym samym czasie irański (perski) matematyk i astronom Ghyath ad-din Jamshid Kashani uzyskał wynik dla 2π, dzięki któremu poprawił dokładność obliczeń Madhavy o 3 cyfry. Wzór odkryty przez Madhavę, pojawił się w 1674 roku w pracach matematyków Leibniza i Gregory’ego.

         Ciekawostką jest, że aby obliczyć przy pomocy ich wzoru wartość Pi z dokładnością do 10 miejsc po przecinku, należałoby dodać do siebie około 5 miliardów wyrazów! Nieco wcześniej, bo w roku 1656 John Wallis został pierwszym Europejczykiem stosującym ciągi nieskończone do przybliżenia liczby π. Swoje wyniki opisał w dziele Arithmetica infinitorum, w którym podał prostą metodę obliczania π.

         Już kilkadziesiąt lat wcześniej, w 1596 roku, Ludolph van Ceulen podał przybliżenie liczby π z dokładnością do 20 cyfr po przecinku, który to wynik opisał dziele Van den Circkel. Pod koniec życia Ceulen uzyskał dokładność większą o kolejnych 15 cyfr – do 35 miejsc po przecinku. Było to nie lada osiągnięcie tym bardziej, że w swojej pracy uczony zastosował metodę zaproponowaną przez Archimedesa. W dowód uznania wynik Ceulena wyryto na jego nagrobku, a liczbę π często nazywa się od jego imienia – ludolfiną.

         W XVIII wieku wśród matematyków panowało powszechne przekonanie, iż π jest liczbą niewymierną. Wciąż jednak brakowało rozstrzygającego dowodu. Pierwszą udaną próbę jego dostarczenia podjął w 1767 roku szwajcarski matematyk Johann Lambert.

         W tym czasie matematycy publikowali kolejne rekordy ilości cyfr po przecinku uzyskiwanych w trakcie szacowania stałej π. I tak w 1853 roku William Rutherford obliczył wartość ludolfiny z dokładnością do 440 cyfr.
W 1872 roku padł rekord Williama Shanksa, który w ciągu 15 lat obliczył Pi z dokładnością do 707 miejsc po przecinku. Niestety, niedługo potem okazało się, że ostatnich 180 cyfr było błędnych i ostatecznie wynik Shanksa zawierał ich 527.

         Dziesięć lat później, w 1882 roku, Ferdinand Lindemann rozstrzygnął jeden z podstawowych problemów związanych z liczbą π. Niemiecki matematyk wykazał, że jest ona liczbą przestępną. Oznaczało to, że π nie może być pierwiastkiem (rozwiązaniem) równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Tym samym Lindemann rozwiązał jeden z najsłynniejszych problemów starożytności, to jest problem kwadratury koła. Idea polegała na tym, aby skonstruować kwadrat, którego powierzchnia byłaby równa powierzchni danego koła, używając tylko i wyłącznie cyrkla oraz linijki. Bardzo szybko okazało się, że zadanie wymaga wyznaczenia odcinka o długości π. Już w V wieku przed Chrystusem Hippokrates z Chios zauważył, że pole koła jest proporcjonalne do kwadratu jego promienia. Na przestrzeni dwóch tysięcy lat uczeni podejmowali różne próby rozwiązania tego problemu. Jak podają Krzysztof Ciesielski i Zdzisław Pogoda w książce Diamenty matematyki, autorem jednej z najbardziej eleganckich a jednocześnie najdokładniejszych metod pozwalających na przybliżoną kwadraturę koła był nadworny zegarmistrz króla Jana III Sobieskiego – Adam Adamandy Kochański. Dowód Lindemanna wskazywał, że aby rozwiązać problem kwadratury koła, należało skonstruować odcinek będący pierwiastkiem z π, który stanowiłby jednocześnie bok kwadratu. Oznaczało to, że kwadratura koła jest niewykonalna.

         Przyjmuje się, że ostatnie przybliżenie liczby π uzyskane tradycyjnymi metodami miało miejsce w 1946 roku, kiedy uczony nazwiskiem Ferguson obliczył wartość π z dokładnością do 620 cyfr. Warto jednak podkreślić, że w końcowych obliczeniach wykorzystywał kalkulator. Od tego czasu kolejne wartości stałej π podawane są dzięki wykorzystaniu możliwości komputerów. W 1949 roku John von Neumann, wykorzystując komputer ENIAC, obliczył Pi z dokładnością do 2037 miejsc po przecinku. Maszyna liczyła przez około 70 godzin.

         W 1974 roku Guillod i Boyer uzyskali rozwinięcie π z dokładnością do miliona cyfr. W 1995 roku podano rozwinięcie, które miało ich 6 442 450 000. Komputery liczyły przez 5 dni. W 2010 roku francuski informatyk Bellard obliczył π z dokładnością sięgającą 2,7 biliona cyfr.

         Π pochodzi oczywiście z alfabetu greckiego i jest to znak powszechnie stosowany jako oznaczenie stosunku długości obwodu koła do długości jego średnicy. Po raz pierwszy symbol ten wykorzystał William Jones w 1706 roku w swoim dziele Synopsis Palmariorum Matheseos. Znak był nawiązaniem do pierwszej litery słowa perimetron, które oznaczało obwód lub peryferie. Oznaczenie nie zyskało z początku uznania wśród matematyków. Przyjęło się głównie za sprawą Leonarda Eulera, który wykorzystał je w swoim dziele Analiza. Π pojawiało się też jednak wcześniej w pracach innych uczonych. Znaczący wpływ na upowszechnienie się symbolu π przypisuje się także dziełu H. Sherwina pt. Mathematical Tables, z 1742 roku.

         Liczba π znalazła swoje miejsce również w naszej kulturze. W celu ułatwienia zapamiętania kolejnych cyfr na całym świecie tworzy się różne wiersze i rymowanki. Jednym z najczęściej przytaczanych jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku. Ciekawy wiersz powstał również podczas Mundialu w Argentynie, w 1978 roku. Π inspiruje również pisarzy i twórców filmowych. Liczba ta pojawiła się w głośnym filmie Darrena Aronofsky’ego zatytułowanym właśnie Pi. Stała się także tematem jednego z wierszy zmarłej w2012 roku Wisławy Szymborskiej. Duże znaczenie nadał jej również Carl Sagan w słynnej powieści Kontakt. Postać o imieniu Pi była jednym z bohaterów polskiego programu edukacyjnego Przybysze z Matplanety emitowanego w latach 80. XX wieku.

         Z liczbą π związane są także rekordy Guinnessa: Rajan Mahadevan zapamiętał 40 000 cyfr po przecinku wyznaczających wartość ludolfiny. Wymienia się także europejskiego rekordzistę Daniela Tammeta, który wyrecytował w ciągu 5 godzin i 9 minut 22 514 cyfr π.

         Π jest podstawą bardzo wielu wzorów i problemów. Przede wszystkim w geometrii, analizie matematycznej i teorii liczb. W świecie fizyki spotkać ją można choćby w słynnej Zasadzie Nieoznaczoności Heisenberga czy równaniach Ogólnej Teorii Względności Einsteina. Na liczbę π natkniemy się także w innych dyscyplinach naukowych, jak informatyka, architektura czy budownictwo.

         Pi to również nazwa perfum marki Givenchy z 1998 roku. Autorem tej kompozycji jest Alberto Morillas. Hiszpan poproszony został o stworzenie zapachu, który odzwierciadlałby przygodę i inspirował mężczyzn do wkraczanie na nieznane terytorium.

         Początkowe cyfry liczby π: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036…

         W związku ze świętem liczby Pi odbywają się liczne konkursy związane z tą stałą matematyczną- np. na ustawienie uczniów w szereg z cyframi rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi lub na zapamiętanie jak największej ilości cyfr po przecinku. W naszej szkole również zaplanowane były konkursy związane z ludolfiną… niestety sytuacja epidemiczna w kraju pokrzyżowała plany i impreza została odroczona.

         O nowym terminie konkursu poinformuję, gdy poprawi się sytuacja w kraju i będziemy mogli uczęszczać do szkoły, tak jak było to przed wprowadzeniem w Polsce stanu zagrożenia epidemicznego.

Bibliografia

Grzegorz Andrzejczak, Jan Kubarski, Andrzej Piątkowski, Matematyka. Encyklopedia szkolna, WSIP, Warszawa 1989.

Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda, Diamenty matematyki, Prószyński i S-ka, Warszawa 1996.

George G. Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London 2000.

Victor J. Katz (ed.), Annette Imhausen et al., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, Princeton 2007.

Clifford A. Pickover, A passion for mathematics: numbers, puzzles, madness, religion, and the quest for reality, John Wiley and Sons, Hoboken, New Jersey 2005.

Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, Pi: A Biography of the World’s Most Mysterious Number, Prometheus Books, Amher, New York 2004

https://histmag.org/Liczba-pi-Zmagania-z-ludolfina-6466

opracowała : R. Kręciwilk